Что такое бальник, что значит бальник.

БАЛЬНИК, см. балить и бал.  

Толковый словарь Даля

Бальник - , бальника, м. (школьн. дореволюц.). Ведомость с отметками об успехах и поведении ученика.;

Толковый словарь Ушакова