Что такое тегиляй, что значит тегиляй.

ТЕГИЛЯЙ м. стар. кафтан со стоячим воротом и короткими рукавами.  

Толковый словарь Даля

м. Одежда воина в виде стеганого ватного кафтана с короткими рукавами и высоким стоячим воротником (на Руси IX-XVI вв.).

Толковый словарь Ефремовой